高等数学（一）笔记

极限

听过最好的一段话让我理解了极限和导数，它是这样说的，导数的本质是极限，而极限的本质就是一个常数C

积分

积分是通过极限运算对函数累积效应的量化，也是导数（作为一种极限）的逆过程。

二重积分

具体视频参考 学长在南方之强open in new window

二重积分是将定积分的思想从一维区间推广到二维平面区域，本质是通过对平面区域进行无限分割后，取各小区域上的函数值与区域面积乘积之和的极限，用于量化二元函数在平面区域上的整体累积效应（如体积、质量等）。

一、选择合适的坐标系

根据积分区域的形状和被积函数的形式，选择直角坐标系或极坐标系，可大幅简化计算：

• 直角坐标系（*d**x**d**y*）：适用于矩形、三角形等边界由直线（如 x=a,y=b）构成的区域，或被积函数为 f(x)+f(y)、xny**m 等多项式形式。
• 极坐标系（*r**d**r**d**θ*）：适用于圆形、扇形、环形等边界含 x2+y2 或对称性的区域（如 x2+y2≤R2），或被积函数含 x2+y2、x**y 等形式（可转化为 r2、tanθ，简化表达式）。

二、确定积分次序（直角坐标系下）

积分次序（先对 x 后对 y，或先对 y 后对 x）的选择直接影响计算复杂度，关键原则：

• 避免被积函数的原函数过于复杂（如出现不可积形式，需换次序）。
• 减少积分区域的分割次数（优先选择无需分割区域的次序）。 例如：若区域由 y=x2、y=1、x=0 围成，先对 x 积分需分割区域，而先对 y 积分则可直接计算。

三、利用对称性简化计算

若积分区域或被积函数具有对称性（如关于坐标轴、原点、直线 y=x 对称），可通过对称性消去部分项或缩小积分范围：

1. 区域对称 + 函数奇偶性

   ：

   • 若区域 D 关于 y 轴对称，被积函数 f(x,y) 是 x 的奇函数（f(−x,y)=−f(x,y)），则积分值为 0；
   • 若 f(x,y) 是 x 的偶函数（f(−x,y)=f(x,y)），则积分等于 2 倍区域 D 右半部分的积分。 （关于 x 轴对称、原点对称的情况类似，需结合函数对 y 或 x,y 的奇偶性分析。）

2. 轮换对称性：若区域 D 关于直线 y=x 对称（即交换 x,y 后区域不变），则 ∬D**f(x,y)dxd**y=∬D**f(y,x)dxd**y。 例如：D 为 x2+y2≤1，则 ∬D​x2dxd**y=∬D​y2dxd**y，可简化为 21​∬D​(x2+y2)dxd**y，再用极坐标计算。

四、拆分被积函数或区域

1. 拆分被积函数

   ：若

   f(x,y)=g(x)+h(y)

   或

   f(x,y)=g(x)⋅h(y)

   ，可利用积分的线性性质拆分：

   • ∬D[g(x)+h(y)]dxd**y=∬D**g(x)dxd**y+∬D**h(y)dxd**y；
   • 若区域 D 是矩形 [a,b]×[c,d]，则 ∬D**g(x)h(y)dxd**y=(∫abg(x)d**x)⋅(∫cdh(y)d**y)（可分离变量，转化为两个定积分的乘积）。

2. 拆分积分区域：若区域 D 由多个子区域组成（如被曲线分割），可利用积分对区域的可加性，将二重积分拆分为各子区域上积分的和（注意子区域需无重叠、全覆盖）。

五、变量替换（换元法）

除了极坐标，对于更复杂的区域或函数，可通过变量替换简化：

• 设 x=x(u,v)，y=y(u,v)，其中变换的雅克比行列式 J=∂(u,v)∂(x,y)=0，则：∬D**f(x,y)dxd**y=∬D′f[x(u,v),y(u,v)]⋅∣J∣dud**v 常见场景：区域为平行四边形、椭圆（可通过仿射变换化为矩形或圆），被积函数含复杂分式或多项式组合时，通过换元转化为简单区域上的积分。

六、特殊区域的简化处理

• 无界区域：若积分区域是无界的（如 x≥a,y≥b），可先在有界子区域上积分，再取极限（类似反常定积分）。
• 含奇点区域：若被积函数在区域内有奇点（如分母为 0 的点），需剔除奇点后取极限，转化为反常二重积分处理。

总结

计算二重积分的核心是 “适配”：让坐标系、积分次序、对称性与区域和函数的特点匹配，优先通过观察简化（如对称性、分离变量），再结合换元或拆分降低计算难度。多练习不同类型的例题，可快速积累对 “如何适配” 的直觉。

无穷级数

调和级数（Harmonic Series）

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